यदि $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ और $\det(A^n - I) = 1 - \lambda^n$ जहाँ $n \in N$ है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $P = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}$,$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $Q = PAP^T$ है,तो $P^T(Q^{2005})P$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ है और $A^3 - 2A^2 + kA - 4I_3 = 0$ है,तो $k = $ . . . . . . .

मान लीजिए कि $A$ एक गैर-शून्य आवर्ती आव्यूह (periodic matrix) है जिसका आवर्तकाल $4$ है और $A^{12} + B = I$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह (identity matrix) है और $B$,$A$ के समान क्रम का कोई भी वर्ग आव्यूह है। आव्यूह गुणनफल $AB$ किसके बराबर है?

मान लीजिए कि सदिश $x_{1}, x_{2}$ और $x_{3}$ रैखिक समीकरणों के निकाय $Ax = b$ के हल हैं,जब दाईं ओर का सदिश $b$ क्रमशः $b_{1}, b_{2}$ और $b_{3}$ के बराबर है। यदि $x_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, x_{2} = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}, x_{3} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, b_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, b_{2} = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}$ और $b_{3} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}$ है,तो $A$ का सारणिक किसके बराबर है?

$-3 x^4 + \operatorname{det}\begin{bmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & x^2 & x^4 \\ 1 & x^3 & x^6 \end{bmatrix} = 0$ को संतुष्ट करने वाले पूर्णांकों $x$ की संख्या क्या है?